Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và có đồ thị...

B

- Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = \left[ {f\left( {f\left( x \right) + 2} \right)} \right]' = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right) + 2} \right)\) 

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
f'\left( {f\left( x \right) + 2} \right) = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\) 

Xét (1): \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {x_1} \in \left( {1;2} \right)\\
x = 2\\
x = {x_2} \in \left( {2;3} \right)
\end{array} \right.\) hay phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét (2): \(f'\left( {f\left( x \right) + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) + 2 = {x_1}\\
f\left( x \right) + 2 = 2\\
f\left( x \right) + 2 = {x_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x_1} - 2 \in \left( { - 1;0} \right)\\
f\left( x \right) = 0\\
f\left( x \right) = {x_2} - 2 \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.\) 

Phương trình \(f\left( x \right) = {x_1} - 2\) có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình \(f(x)=0\) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép (bội hai).

Phương trình \(f(x)=x_2-2\) có 2 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình \(y'=0\) có tất cả 3+4+2+2=11 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số đã cho có 11 điểm cực trị.