Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên...

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t} = x.\sin \left( {\pi x} \right)\). Tính \(f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).

A. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = - \frac{\pi }{2}.\)

B. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}.\)

C. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 1.\)

D. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2}.\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Từ \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t} = x.\sin \left( {\pi x} \right)\), đạo hàm hai vế ta được \(2xf\left( {{x^2}} \right) = \sin \left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right).\)

Cho \(x = \frac{1}{2}\) ta được \(2.\frac{1}{2}.f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2} = 1 \to f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 1.\)

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

40 câu trắc nghiệm Vận dụng cao Tích phân trong đề thi THPTQG

↑