Biết \(A\left( {{x_A};{y_A}...

Câu hỏi: Biết \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x + 1}}\) sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Tính \(P = y_A^2 + y_B^2 - {x_A}{x_B}\).

A. \(P = 10 - \sqrt 3 \)

B. \(P = 6 - 2\sqrt 3 \)

C. P = 6

D. P = 10

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đặt \({x_A} = - 1 + t;{x_B} = - 1 - t\left( {t > 0} \right)\), khi đó

Ta có \(A\left( { - 1 + t;\frac{{t + 3}}{t}} \right);B\left( { - 1 - t;\frac{{ - t + 3}}{{ - t}}} \right)\), khi đó \(AB = \sqrt {4{t^2} + {{\left( {\frac{{t + 3}}{t} + \frac{{ - t + 3}}{t}} \right)}^2}} = \sqrt {4{t^2} + \frac{{36}}{{{t^2}}}} \)

\( \ge \sqrt {2.\sqrt {4{t^2}.\frac{{36}}{{{t^2}}}} } = \sqrt {2.2.6} = 2\sqrt 6 \).

Dấu bằng xảy ra khi \({t^4} = 9 \Leftrightarrow t = \sqrt 3 \), suy ra \(A\left( { - 1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right);B\left( { - 1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\).

Khi đó \(P = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)=10\).

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Trần Quang Khải

↑