Cho hình chóp SABCD có \(SC = x\left( {0 < x &l...

C

- Hướng dẫn giải

Ta có: \(\Delta SBD = \Delta ABD(c - c - c) \Rightarrow AO = SO = OC =  > \Delta SAC\)  vuông tại S. (tam giác có đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AC bằng nửa cạnh AC).

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + S{C^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {1 + {x^2}} \\
 \Rightarrow BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}}  = \sqrt {1 - \frac{{1 + {x^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\\
 \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {1 + {x^2}} .\sqrt {3 - {x^2}} \\
SH = \frac{{SA.SC}}{{\sqrt {S{A^2} + S{C^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
 \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\frac{1}{2}.\sqrt {1 + {x^2}} .\sqrt {3 - {x^2}} \\
 = \frac{1}{6}x\sqrt {3 - {x^2}}  = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{6} \le \frac{1}{2}\frac{{{x^2} + 3 - {x^2}}}{6} = \frac{1}{4}\\
 \Rightarrow Max{V_{SABCD}} = \frac{1}{4}.
\end{array}\)