Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳn...

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) và \(\Delta ':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\). Xét điểm M thay đổi. Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ M đến Δ và Δ'. Biểu thức \({a^2} + 2{b^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M \equiv {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Khi đó \({x_0} + {y_0}\) bằng

A. 0

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{4}{3}\)

D. \(\sqrt 2 \)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Gọi H, K là hình chiếu của M lên Δ, Δ' khi đó \(a = MH,b = MK\). PQ là đoạn vuông góc chung của Δ, Δ' \(\Rightarrow P\left( {0;0;1} \right),Q\left( {1;0;0} \right)\). Ta có \(a + b \ge HK \ge PQ = \sqrt 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \frac{{{a^2}}}{1} + \frac{{{b^2}}}{{\frac{1}{2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {a + b} \right)^2} = \frac{4}{3}\).

Dấu “=” đạt được khi M đặt tại M' nghĩa là \(\overrightarrow {MP} = - 2\overrightarrow {MQ} \Rightarrow M\left( {\frac{2}{3};0;\frac{1}{3}} \right) \Rightarrow {x_0} + {y_0} = \frac{2}{3}\).

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước lần 3

↑