Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

A

- Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = a \in \left( {1;3} \right)\\x = b \in \left( {3; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Như vậy \(f\left( {2\sin x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x + 1 = - 1\\2\sin x + 1 = a \in \left( {1;3} \right){\rm{ }}\\2\sin x + 1 = b \in \left( {3; + \infty } \right){\rm{ }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\left( 1 \right)\\\sin x = \frac{{a - 1}}{2},a \in \left( {1;3} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\\sin x = \frac{{b - 1}}{2},b \in \left( {3; + \infty } \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\).

Trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\) phương trình sin x = -1 có 2 nghiệm \(x = \frac{{3\pi }}{2},x = \frac{{7\pi }}{2}\).

Với \(1 < a < 3 \Rightarrow 0 < a - 1 < 2 \Rightarrow 0 < \frac{{a - 1}}{2} < 1\). Do đó \(\sin x = \frac{{a - 1}}{2}\) có 5 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\), các nghiệm này đều khác \(\frac{{3\pi }}{2}\) và \(\frac{{7\pi }}{2}\).

Với \(b > 3 \Rightarrow b - 1 > 2 \Leftrightarrow \frac{{b - 1}}{2} > 1\). Do đó \(\sin x = \frac{{b - 1}}{2}\) vô nghiệm.

Vậy trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\) phương trình \(f\left( {2\sin x + 1} \right) = 1\) có 7 nghiệm.