Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}...

D

- Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(xy < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \Leftrightarrow 1 + {\log _3}(1 - xy) + (3 - 3xy) = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}(3 - 3xy) + 3 - 3xy = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y,(1)\end{array}\)

Xét hàm số: \(f(t) = {\log _3}t + t\) trên \((0; + \infty )\) thì \(f(t)\) luông đồng biến

Phương trình (1) có dạng: \(f(3 - 3xy) = f(x + 2y) \Leftrightarrow 3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}}\)

\( \Rightarrow P = x + y = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\)

Khảo sát hàm số \(g(y) = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\) trên \((0; + \infty )\)

Có: \(g'(y) = \frac{{9{y^2} - 6y - 10}}{{{{(3y + 1)}^2}}},g'(y) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}\) (vì y>0).

Bảng biến thiên của \(g(y)\) : 

Từ bảng biến thiên ta thấy: \({P_{\min }} = g\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}} \right) = \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}.\)