Cho hàm số \(f\left( x \rig...

A

- Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - 4{x^3} + 4{x^2} + a$ trên [0;2].

$g'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x;g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.;g\left( 0 \right) = a;g\left( 1 \right) = a + 1;g\left( 2 \right) = a$

Suy ra: $a \le g\left( x \right) \le a + 1$.

TH1: $0 \le a \le 4 \Rightarrow a + 1 \ge a > 0 \Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = a + 1;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = a$

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le a \le 4\\a + 1 \le 2a\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le a \le 4$. Do đó: có 4 giá trị của a thỏa mãn.

TH2: $- 4 \le a \le - 1 \Rightarrow a \le a + 1 \le - 1 \Rightarrow \left| {a + 1} \right| \le \left| a \right|$

$\Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = |a| = - a;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = |a + 1| = - a - 1$

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} - 4 \le a \le - 1\\ - a \le - 2a - 2\end{array} \right. \Rightarrow - 4 \le a \le - 2$. Do đó: có 3 giá trị của a thỏa mãn.

Vậy có tất cả 7 giá trị thỏa mãn.