Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R có \(\int\limi...

A

- Hướng dẫn giải

Ta có: $I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {4x - 1} \right|} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { - 4x + 1} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x - 1} \right)dx}$

Xét ${I_1} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { - 4x + 1} \right)dx}$

Đặt $- 4x + 1 = t \Rightarrow dt =  - 4dx$. Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l} x =  - 1 \Rightarrow t = 5\\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.$ 

$\Rightarrow {I_1} =  - \frac{1}{4}\int\limits_5^0 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt = } \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = } \frac{1}{4}.4 = 1$ 

Xét ${I_2} = \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x - 1} \right)dx}$ 

Đặt $4x - 1 = t \Rightarrow dt = 4dx$. Đổi xận: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 3\\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.$ 

$\begin{array}{l}  \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{4}.8 = 2\\ I = {I_1} + {I_2} = 1 + 2 = 3 \end{array}$