Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

B

- Hướng dẫn giải

Ta có: \(A,B \in \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + {b_1} + {c_1} + {d_1} = 0\\
 - 2{b_1} + 2{c_1} + {d_1} = 0
\end{array} \right.\)

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}
M = \left( P \right) \cap Ox \Rightarrow M\left( { - {d_1};0;0} \right) \Rightarrow OM = \left| {{d_1}} \right| > 0\\
N = \left( P \right) \cap Oy \Rightarrow N\left( {0;\frac{{ - {d_1}}}{{{b_1}}};0} \right) \Rightarrow ON = \left| {\frac{{ - {d_1}}}{{{b_1}}}} \right| = \left| {\frac{{{d_1}}}{{{b_1}}}} \right| > 0
\end{array} \right.\) 

Theo bài ra ta có \(OM = ON \Leftrightarrow \left| {{d_1}} \right| = \left| {\frac{{{d_1}}}{{{b_1}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {{d_1}} \right|\left( {\left| {{b_1}} \right| - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {b_1} =  \pm 1\,\,\,\left( {{\rm{Do}}\,\,\,\left| {{d_1}} \right| > 0} \right)\) 

TH1: \({b_1} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 + {c_1} + {d_1} = 0\\
 - 2 + 2{c_1} + {d_1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1} = 4\\
{d_1} =  - 6
\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):x + y + 4z - 6 = 0\) 

TH2: \({b_1} =  - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1} + {d_1} = 0\\
2 + 2{c_1} + {d_1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1} =  - 2\\
{d_1} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):x - y - 2z + 2 = 0\)      

Do vai trò của (P), (Q) là như nhau nên không mất tính tổng quát ta có \(\left( P \right):x + y + 4z - 6 = 0\) và

\(\left( Q \right):x - y - 2z + 2 = 0\)

\( \Rightarrow {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 1\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 2} \right) =  - 9\)