Cho hàm số \(f(x) = \frac{{...

A

- Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m} \ne 0\end{array} \right.\).

Đặt \(u = \sqrt { - 2x + 3} \Rightarrow u' = \frac{{ - 1}}{{\sqrt { - 2x + 3} }} < 0,\,\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\), suy ra hàm số \(u = \sqrt { - 2x + 3} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\). Với \(x \in \left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right) \Rightarrow u \in \left( {1;\,\,2} \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số \(g\left( u \right) = \frac{{\left( {m + 1} \right)u - 1}}{{ - u + \frac{2}{m}}}\) đồng biến trên khoảng (1;2)

Ta có \(g'\left( u \right) = \frac{{\frac{2}{m}\left( {m + 1} \right) - 1}}{{{{\left( { - u + \frac{2}{m}} \right)}^2}}},\,\,u \ne \frac{2}{m}\).

Hàm số g(u) đồng biến trên khoảng (1;2) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}g'\left( u \right) > 0,\,\,\forall u \in \left( {1;\,\,2} \right)\\\frac{2}{m} \notin \left( {1;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{m}\left( {m + 1} \right) - 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}\frac{2}{m} \le 1\\\frac{2}{m} \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 2}}{m} > 0\\\left[ \begin{array}{l}\frac{{m - 2}}{m} \ge 0\\\frac{{m - 1}}{m} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m < 0\\0 < m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 2\\0 < m \le 1\\m \ge 2\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {0;\,\,1} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow a = - 2;\,\,b = 0;\,\,c = 1;\,\,\,d = 2\).

Do đó P =  - 2 - 0 + 1 - 2 =  - 3.