Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trì...

C

- Hướng dẫn giải

Đặt \(\left| {\cos x} \right| = t\left( {0 \le t \le 1} \right).\) 

Khi đó ta có phương trình: \(\frac{1}{3}t{}^2 - 3{t^2} + 5t - 3 + 2m = 0(*)\) 

Phương trình bài cho có đúng 4 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right] \Leftrightarrow \) phương (*) có 1 nghiệm \(t \in (0;1).\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 5t - 3\) 

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng y = -2m.

Ta có: \(f'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 5 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t = 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 5
\end{array} \right.\) 

Bảng biến thiên:

\( \Leftrightarrow pt(*)\) có 1 nghiệm \( \Leftrightarrow  - 3 <  - 2m < \frac{{ - 2}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m < \frac{3}{2}.\)