Cho tứ diện ABCD có \(AC = AD = BC = BD =...

A

- Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.

\(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) cân \( \Rightarrow AM \bot CD,BM \bot CD\) 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\
\left( {ACD} \right) \supset AM \bot CD\\
\left( {BCD} \right) \supset BM \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACD} \right);\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {AM;BM} \right) = {90^0}\\
 \Rightarrow AM \bot BM
\end{array}\) 

Và ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta ACD = \Delta BCD\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AM = BM\)  

\( \Rightarrow \Delta ABM\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MN \bot AB\) 

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta CDN\) vuông cân tại N và \(MN \bot CD\) 

Đặt CD = x. Áp dụng định lí Pytago ta có: \(A{M^2} = {a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}\) 

\(\Delta ABM\) vuông cân tại \(M \Rightarrow A{B^2} = 2A{M^2} = 2{a^2} - \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow A{N^2} = \frac{1}{4}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{8}\)  

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(D{N^2} = A{D^2} - A{N^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{8} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{8}\) 

\(\Delta CDN\) vuông cân tại \(N \Rightarrow C{D^2} = 2D{N^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)