Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begi...

B

- Hướng dẫn giải

Ta có x > 1 thì \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) nên \(f'\left( x \right) = 2x \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 2.2 = 4\) Đáp án D đúng.

Tương tự ta có \(f(0)=2\) đáp án C đúng.

Ta kiểm tra xem f có đạo hàm tại \(x_0=1\) hay không?

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\)

Tương tự ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 2 = 2\)

Như vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = 2\)

Do đó \(f'\left( 1 \right) = 2\) Đáp án A đúng.