Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N...

D

- Hướng dẫn giải

Tọa độ hóa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, \(B\left( {a;0;a} \right),D\left( {0;a;a} \right),M\left( {a;\frac{a}{2};a} \right),N\left( {0;a;\frac{a}{2}} \right).\) 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BD}  = \left( { - a;a;0} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( { - a;\frac{a}{2};\frac{a}{2}} \right),\overrightarrow {BM}  = \left( {0;\frac{a}{2};0} \right).\\
\left[ {\overrightarrow {BM} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - \frac{a}{2}; - \frac{a}{2};\frac{a}{2}} \right);\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right].\overrightarrow {BM}  =  - \frac{{{a^2}}}{4}.\\
d\left( {BD;MN} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right].\overrightarrow {BM} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right].} \right|}} = \frac{{{a^2}}}{4}:\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.
\end{array}\)