Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x(0 < x < a\s...

A

- Hướng dẫn giải

\( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)

Ta có

\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}}  \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)

Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD\). Khi đó ta có:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} - {x^2}}  = \frac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {3{a^2} - {x^2}}  \le \frac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \frac{1}{6}a\frac{{3{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6\\
n = 2
\end{array} \right. \Rightarrow m + 2n = 10\)