Cho hàm số  

D

- Hướng dẫn giải

+ Gọi $M(x_0; 2+\frac{3}{x_0-1})\in \left(C\right), x_0\ne 1.$

Phương trình tiếp tuyến tại M  có dạng

$∆: y= \frac{-3}{{\left(x_0-1\right)}^2}(x-x_0)+2+\frac{3}{x_0-1}$

+ Giao điểm của $∆$  với tiệm cận đứng là $A(1; 2+\frac{6}{x_0-1})$

+ Giao điểm của $∆$  với tiệm cận ngang là  B( 2x₀-1; 2).

Ta có $S_{∆IAB}=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.\frac{6}{\left|x_0-1\right|}.2.\left|x_0-1\right|=2.3=6$

Tam giác IAB vuông tại I có diện tích không đổi nên  chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi

IA=IB 

+Với $x_0=1+\sqrt{3}$  thì phương trình tiếp tuyến là $∆: y=-x+3+2\sqrt{3}$ . Suy ra

$d\left(O,∆\right)=\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

+ Với  $x_0=1-\sqrt{3}$thì phương trình tiếp tuyến là $∆: y=-x+3-2\sqrt{3}$. Suy ra

$d\left(O,∆\right)=\frac{-3+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách lớn nhất là $\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$  gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.

Chọn D.