Cho hình chóp S.ABC có SA là đườ...

D

- Hướng dẫn giải

Kẻ \(BH \bot SC,BK \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BK \bot AC\\
BK \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\) 

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
BK \bot AC\\
BK \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BK \bot AC\\
BK \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Mà \(BSC = {45^0} \Rightarrow \Delta SBC\) vuông cân tại B \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SB = BC = a\\
BH = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\) 

Đặt \(SA = x \Rightarrow A{B^2} = S{B^2} - S{A^2} = {a^2} - {x^2};A{C^2} = 2{a^2} - {x^2}\) 

\(\Delta BHK\) vuông tại K, \(BHK = {60^0}\) 

\( \Rightarrow HK = BH.cos{60^0} = \frac{1}{2}BH = \frac{{a\sqrt 2 }}{4},BK = BH.\sin {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) 

\(\Delta ABC\) vuông tại B, \(BK \bot AC \Rightarrow BK.AC = BC.AB\)  

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\sqrt {2{a^2} - {x^2}}  = a.\sqrt {{a^2} - {x^2}} \\
 \Leftrightarrow \frac{3}{8}\left( {2{a^2} - {x^2}} \right) = {a^2} - {x^2} \Leftrightarrow \frac{5}{8}{x^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow x = a\sqrt {\frac{2}{5}} \\
 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{a\sqrt {\frac{2}{5}} }}{a} = \sqrt {\frac{2}{5}} 
\end{array}\)