Goi m là giá trị để đồ thị (Cm) của hàm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) và trục Ox là: \(\frac{{{x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1}}{{x - 1}} = 0(1).\) 

(C_m ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2} \ne 1\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} = 1 - {m^2} > 0\\
g\left( 1 \right) = 2{m^2} + 2m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < m < 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 1\\
m \ne 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < m < 1\\
m \ne 0
\end{array} \right.\left( a \right)\) 

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x + 2m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) 

Hệ số góc của (C_m) tại hai điểm A, B là:

\(\begin{array}{l}
{k_1} = \frac{{\left( {2{x_1} + 2m} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1}^2 + 2m{x_1} + 2{m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x_1} + 2m}}{{{x_1} - 1}}\\
{k_2} = \frac{{\left( {2{x_2} + 2m} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{x_2}^2 + 2m{x_2} + 2{m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x_2} + 2m}}{{{x_2} - 1}}
\end{array}\) 

Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau \( \Leftrightarrow {k_1}{k_2} =  - 1\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{2{x_1} + 2m}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{2{x_2} + 2m}}{{{x_2} - 1}} =  - 1\\
 \Leftrightarrow 4\left[ {{x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2}} \right] =  - {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1\left( 2 \right)
\end{array}\) 

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 2m\\
\left( {{x_1}{x_2}} \right) = 2{m^2} - 1
\end{array} \right..\) Do đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 6{m^2} + 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m =  - 1\\
m = \frac{2}{3}
\end{array} \right..\) 

Đối chiếu điều kiện ta có \(m = \frac{2}{3}.\)