Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, vi...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\)

A. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1\)

B. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\)

C. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

D. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S) suy ra IA = IB = IC và \(I \in (P) \Rightarrow x + y + z - 2 = 0.\)

Mặt khác \(\overrightarrow {AI} = (x - 2;y;z - 1),\)

\(\overrightarrow {BI} = (x - 1;y;z),\)

\(\overrightarrow {CI} = (x - 1;y - 1;z - 1)\)

Nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I \in (P)}\\
{IA = IB}\\
{IA = IC}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y + z - 2 = 0}\\
{x + z = 2}\\
{y + z = 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 1}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right. \Rightarrow I(1;0;1)
\end{array}\)

Và \(R = IA = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

\({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Trắc nghiệm Hình học 12

↑