Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều là cạnh bằng...

D

- Hướng dẫn giải

Dựng E sao cho ABCE là hình bình hành như hình vẽ.

Ta có: AB // CE

$\Rightarrow AB//\left( {CDE} \right) \supset CD \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right)$ với M là trung điểm của AB.

Gọi N là trung điểm của CE.

Tam giác ABD đều $\Rightarrow MD \bot AB$ 

ABCE là hình bình hành có $\angle ABC = {90^0}(gt) \Rightarrow ABCE$ là hình chữ nhật. (dhnb)

$\begin{array}{l}  \Rightarrow MN//BC,BC \bot AB \Rightarrow MN \bot AB\\  \Rightarrow AB \bot \left( {AND} \right) \Rightarrow CE \bot \left( {AND} \right) \end{array}$ 

Trong (MND) kẻ $MH \bot DN$ ta có: 

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {MH \bot DN}\\ {MH \bot CE} \end{array}} \right. \Rightarrow MH \bot \left( {CDE} \right)$

$\Rightarrow d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right) = MH = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$ 

Tam giác ABD đều cạnh $2 \Rightarrow DM = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$ 

Ta có: $MN = BC = \sqrt 3  \Rightarrow \Delta MND$ cân tại $M \Rightarrow H$ là trung điểm của ND.

Xét tam giác vuông MNH có $NH = \sqrt {M{N^2} - M{H^2}}  = \sqrt {3 - \frac{{11}}{4}}  = \frac{1}{2} \Rightarrow ND = 2NH = 1$ 

Ta có: $CE \bot \left( {MND} \right) \Rightarrow CE \bot DN \Rightarrow \Delta CDN$ vuông tại $N \Rightarrow CD = \sqrt {D{N^2} + C{N^2}}  = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2$