Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

D

- Hướng dẫn giải

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\0 < y < 8\end{array} \right.\).

Từ giả thiết biến đổi có:

\({\log _3}x + xy = {\log _3}\left( {8 - y} \right) + x\left( {8 - x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{x^2} + {x^2} = {\log _3}\left[ {x\left( {8 - y} \right)} \right] + x\left( {8 - y} \right)\)

Do hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) đồng thời từ giả thiết bài toán có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \in \left( {0; + \infty } \right)\\x\left( {8 - y} \right) \in \left( {0; + \infty } \right)\\f\left( {{x^2}} \right) = f\left[ {x\left( {8 - y} \right)} \right]\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} = x\left( {8 - y} \right) \Leftrightarrow x + y = 8\)

Do x, y > 0 nên có \(x \in \left( {0;8} \right)\)

Thay vào P ta có: \(P = {x^3} - {x^2} - {\left( {8 - x} \right)^2} - 16x = {x^3} - 2{x^2} - 64\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 64;x \in \left( {0;8} \right)\) ta có \(\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left( {0;8} \right)} = - \frac{{1760}}{{27}}\)