Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

A

- Hướng dẫn giải

ĐK: x + 2m > 0

Ta có \({2^{x - 1}} = {\log _4}\left( {x + 2m} \right) + m \Leftrightarrow {2^x} = {\log _2}\left( {x + 2m} \right) + 2m\)

Đặt \(t = {\log _2}\left( {x + 2m} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = t + 2m\\{2^t} = x + 2m\end{array} \right. \Rightarrow {2^x} + x = {2^t} + t\)

Do hàm số \(f\left( u \right) = {2^u} + u\) đồng biến trên R, nên ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow t = x\). Khi đó:

\({2^x} = x + 2m \Leftrightarrow 2m = {2^x} - x\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2^x} - x \Rightarrow g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - {\log _2}\left( {\ln 2} \right)\).

Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(2m \ge g\left( { - {{\log }_2}\left( {\ln 2} \right)} \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{g\left( { - {{\log }_2}\left( {\ln 2} \right)} \right)}}{2} \approx 0,457\) (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì \(x + 2m = {2^x} > 0\))

Do m nguyên và |m| < 10, nên \(m \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\).