Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy =...

C

- Hướng dẫn giải

Ta có $F = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + 2xy}}{{x - y}} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2.1000}}{{x - y}} = x - y + \frac{{2.1000}}{{x - y}}.$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có $F = x - y + \frac{{2.1000}}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\frac{{2.1000}}{{x - y}}} = 40\sqrt 5 .$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 1000\\ x - y = \frac{{2.1000}}{{x - y}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 1000\\ x - y = 20\sqrt 5 \end{array} \right..$

Vậy ${F_{\min }} = 4\sqrt 5$ khi $\left\{ \begin{array}{l} ab = 1000\\ a - b = 20\sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab = 4000 \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}} = 4.$