Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limi...

C

- Hướng dẫn giải

Xét \(\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} .\) Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow {t^2} = x,\) suy ra \(2t{\rm{d}}t = {\rm{d}}x.\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \to t = 1\\
x = 9 \to t = 3
\end{array} \right..\) Suy ra \(4 = \int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x}  = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)2{\rm{d}}t}  \to \int\limits_1^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = 2.\)

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .\) Đặt \(u = \sin x,\) suy ra \({\rm{d}}u = \cos x{\rm{d}}x.\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to u = 0\\
x = \frac{\pi }{2} \to u = 1
\end{array} \right..\) Suy ra \(2 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} .\)

Vậy \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.\)