Cho phương trình \(\sqrt {\...

D

- Hướng dẫn giải

Đặt $t = {\log _3}x$, với $x \ge 27 \Rightarrow t \ge 3$.

Phương trình trở thành $\sqrt {{t^2} - 4t - 5} = m\left( {t + 1} \right).$ (*)

Điều kiện xác định: $\left[ \begin{array}{l}t \le - 1\\t \ge 5\end{array} \right.$.

+) Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm, do $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{t^2} - 4t - 5} \ge 0\\t + 1 > 0\end{array} \right.,\forall t \ge 5.$

+) Với m = 0, ta có $\sqrt {{t^2} - 4t - 5} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,(l)\\t = 5\,\,\,\,(n)\end{array} \right.$

+) Với m > 0 thì $\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 = {m^2}{\left( {t + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right){t^2} - \left( {2{m^2} + 4} \right)t - 5 - {m^2} = 0$. (**)

Nếu $m = 1 \Rightarrow t = - 1$ không thỏa mãn.

Nếu m khác 1, ta có (**) $\Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left[ {\left( {1 - {m^2}} \right)t - {m^2} - 5} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,(l)\\t = \frac{{{m^2} + 5}}{{1 - {m^2}}}\end{array} \right.$.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 5}}{{1 - {m^2}}} \ge 5 \Leftrightarrow \frac{{6{m^2}}}{{1 - {m^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1$, kết hợp m > 0 suy ra 0 < m < 1.

Vậy với $0 \le m < 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc $[27;\, + \infty )$.