Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là...

C

- Hướng dẫn giải

Kẻ đường thẳng đi qua A song song với BC lần lượt cắt CD và BE kéo dài  tại B′ và C′.

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Vì AB′ // MC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AB'}}{{MC}}(1)\)

Vì AC′//BM, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AC'}}{{BM}}(2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AB'}}{{MC}} = \frac{{AC'}}{{MB}}\)

Ta có M là trung điểm của BC ⇒ BM = MC ⇒ AB′ = AC′ (*)

Vì AB′ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}}(**)\)

Vì AC′ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}(***)\)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

 \(\begin{array}{l} \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{CE}} \end{array}\) 

Hay DE // BC