Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạn...

C

- Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và E là trung điểm SB.

Vì S. ABCD là hình chóp đều nên \(SO \bot (ABCD)\) 

Tưởng (SBO) kẻ đường trung trực của SB cắt SO tại I , khi đó IA = IB = IC = ID = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là R = IS.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh

\(2a \Rightarrow BD = \sqrt {BC{}^2 + C{D^2}}  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{{BD}}{2} = a\sqrt 2 .\) 

Ta có SA = SB = SC = SD = 2a (vì S.ABCD là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \frac{{2a}}{2} = a\) 

Xét tam giác SBO vuông tại O (vì \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot OB)\) có \(SO = \sqrt {SB{}^2 - O{B^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 2 .\) 

Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác \(SOB(g - g) \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \frac{{SB.SE}}{{SO}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.\) 

Vậy bán kính \(R = a\sqrt 2 .\)