Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\f...

Câu hỏi: Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\frac{a}{{\sqrt 2 }},\Delta SAC\) vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc \(60^0\). Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \(V = \frac{{{a^3}qrt 6 }}{{24}}\)

D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Cách giải:

Gọi H là hình chiếu của S trên AC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
(SAC) \cap (ABCD) = AC\\
(SAC) \supset SH \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot (ABCD)\)

Ta có: \(\angle \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA,AH} \right) = \angle \left( {SA,AC} \right) = \angle SAC\)

Ta có: \(AC = AB\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2 = a\)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại S ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
SA = AC.cos60^\circ = \frac{a}{2}\\
SC = AC.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SAC\) vuông tại S và có đường cao SH ta có:

\(SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3

↑