Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng (P) song song vớ...

A

- Hướng dẫn giải

Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ.

Gọi \(\alpha\) là góc cần tìm.

Xét tam giác AHD vuông tại H có \(DH = h\,,\,AH = R - r \Rightarrow h = 2{r_0} = AH.tam\alpha = \left( {R - r} \right)\tan \alpha \,\left( 1 \right)\)

Thể tích khối cầu là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 = \frac{{\pi {h^3}}}{6}\)

Thể tích của (N₂) là \({V_2} = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right)\)

\(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {h^2} = {R^2} + {r^2} + Rr\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có BC = R + r (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \({h^2} = B{C^2} - {\left( {R - r} \right)^2} = 4Rr\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 2 \right)\,,\,\left( 3 \right)\, \Rightarrow {\left( {R - r} \right)^2} = Rr\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\,,\,\left( 3 \right)\,,\,\left( 4 \right) \Rightarrow {h^2} = {\left( {R - r} \right)^2}.{\tan ^2}\alpha = 4{\left( {R - r} \right)^2}\) (vì \(\alpha\) là góc nhọn)

\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \tan \alpha = 2\).