Cho khối tứ diện ABCD có \(BC = 3,CD = 4,...

C

- Hướng dẫn giải

Dựng \(AE \bot \left( {BCD} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AE\\
BC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow BC \bot BE\) 

CMTT ta có \(CD \bot DE\) 

\( \Rightarrow BCDE\) là hình chữ nhật.

Ta có

\(\angle \left( {BC;AD} \right) = \angle \left( {ED;AD} \right) = \angle ADE = {60^0} \Rightarrow AE = ED.\tan {60^0} = 3\sqrt 3 \) 

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

\(E\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),D\left( {0;3;0} \right),A\left( {0;0;3\sqrt 3 } \right),C\left( {4;3;0} \right)\) 

Ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {4;0; - 3\sqrt 3 } \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {0;3;0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {9\sqrt 3 ;0;12} \right)//\left( {3\sqrt 3 ;0;4} \right) = {\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {{n_1}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC}  = \left( {4;3; - 3\sqrt 3 } \right)\\
\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4;0;0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0;12\sqrt 3 ;12} \right)//\left( {0;\sqrt 3 ;1} \right) = {\overrightarrow n _{\left( {ACD} \right)}} = \overrightarrow {{n_2}} \\
 \Rightarrow \cos \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ACD} \right)} \right) = \left| {\cos \angle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {43} .2}} = \frac{{2\sqrt {43} }}{{43}}
\end{array}\)