Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a

B

- Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AB ta có \(CM \bot AB\) 

Trong (ABC) kẻ \(HN//CM\left( {N \in AB} \right) \Rightarrow NH \bot AB\) 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot NH\\
AB \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHN} \right)\) 

Trong (SHN) kẻ \(HK \bot SN\left( {K \in SN} \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
HK \bot SN\\
HK \bot AB\left( {AB \bot \left( {SHN} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\) 

Có: \(CH \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \frac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{HA}} = \frac{3}{2}\) 

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}HK\) 

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{HN}}{{CM}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HN = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHN ta có;

\(HK = \frac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \frac{{2a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\) 

Vậy \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}HK = \frac{{3\sqrt {21} a}}{7}\)