Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng $(P) : x - y + 2 z + 1 = 0, (Q) : 2 x + y + z - 1 = 0$ Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.

A. $r = \sqrt{3} .$

B. $r = \sqrt{2} .$

C. $r = \sqrt{\frac{3}{2}} .$

D. $r = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Gọi $I (a; 0; 0)$ là tâm của mặt cầu (S) có bán kính R.

Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là $d_{1} = \frac{|a + 1|}{\sqrt{6}}, d_{2} = \frac{|2 a + 1|}{\sqrt{6}}$

Theo giả thiết, ta có:

$R^{2} = d_{1}^{2} + 2^{2} = d_{2}^{2} + r^{2} \Leftrightarrow \frac{{(a + 1)}^{2}}{6} + 4 = \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{6} + r^{2} \Leftrightarrow a^{2} + 2 a + 25 = 4 a^{2} - 4 a + 1 + 6 r^{2} \Leftrightarrow 3 a^{2} - 6 a + 6 r^{2} - 24 = 0 (*)$

Yêu cầu bài toán (*) có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow Δ' = {(- 3)}^{2} - 3 (6 r^{2} - 24) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑