Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AD=x ...

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt a=2. Gọi H là trung điểm của BC khi đó $\left\{\begin{array}{l}AH\perp BC\\ DH\perp BC\end{array}\right.$

Suy ra $BC\perp \left(AHD\right)$và ta có $AH=DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi E là trung điểm của AD do tam giác AHD cân nên

$HE\perp AD\Rightarrow HE=\sqrt{A{H}^2-A{E}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}$

Ta có $V_{ABCD}=V_{B.AHD}+V_{C.AHD}$

$=\frac{1}{3}BC.S_{AHD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}HE.AD$

Lại có:

$\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.x=2\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.\frac{x}{2}\le \left(\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{4}\right)$

$=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow V_{ABCD}\le \frac{a^3}{8}\Rightarrow V_{\max }=\frac{a^3}{8}$.

Dấu bằng xảy ra $3a^2=2x^2\iff x=\frac{a\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$

Cách 2: Nhận xét $V_{\max }\iff S_{AHD}$ lớn nhất $\frac{1}{2}AH.DH\sin \stackrel{⏜}{AHD}=\frac{3a^2}{8}.\sin \stackrel{⏜}{AHD}\le \frac{3a^2}{8}$