Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

- Tìm tọa độ giao điểm B, C của \(\left( \alpha  \right)\) với trục Oy, Oz.

- Tính thể tích khối tứ diện vuông OABC: \(V=\frac{1}{6}.OA.OB.OC\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow{n}(a;b;c),\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\) là một vecto pháp tuyến của (P).

Vì \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A(2;0;0)\) nên PTTQ của (P): \(a(x-2)+b(y-0)+c(z-0)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-2a=0\)

Vì \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\)nên \(\overrightarrow{n}(a;b;c)\)vuông góc với \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}(0;2;-1)\). Khi đó, \(0.a+2.b+(-1).c=0\Leftrightarrow c=2b\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right):\,\,ax+by+2bz-2a=0\,\)

\(d\left( O;\left( \alpha  \right) \right)=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{\left| -2a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4{{b}^{2}}}}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow {{(6a)}^{2}}=16({{a}^{2}}+5{{b}^{2}})\Leftrightarrow {{a}^{2}}=4{{b}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=2b \\  a=-2b \\ \end{align} \right.\)

Cho 

\(b = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow n (2;1;2)\\\overrightarrow n ( - 2;1;2)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right):2x + y + 2z - 4 = 0\\\left( \alpha  \right): - 2x + y + 2z + 4 = 0\end{array} \right.\)

+) \(\left( \alpha  \right):2x+y+2z-4=0\Rightarrow B\left( 0;4;0 \right),\,C\left( 0;0;2 \right)\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.\left| 2 \right|.\left| 4 \right|.\left| 2 \right|=\frac{8}{3}\)

+) \(\left( \alpha  \right):-2x+y+2z+4=0\Rightarrow B\left( 0;-4;0 \right),\,C\left( 0;0;-2 \right)\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.\left| 2 \right|.\left| -4 \right|.\left| -2 \right|=\frac{8}{3}\)

Vậy thể tích khối tứ diện OABC là \(\frac{8}{3}\).

Chọn: C