Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Để làm được bài tập này trước hết các em phải nắm được định nghĩa về tiếp tuyến của một đường tròn: “Một đường thẳng được gọi là một tiếp tuyến của đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó”. Bài tập này, về cơ bản là các em phải sử dụng được các tính chất của tiếp tuyến

+)  Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+)  Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm bên ngoài đường tròn thì điểm đó sẽ cách đều hai tiếp điểm ( tiếp điểm là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn)

Bài tập này có một điểm mấu chốt, nếu chứng minh được điểm này thì xem như bài toán được giải. Điểm mấu chốt đó là chứng minh được: AB + AC – BC = 2AD Để nhận ra điểm mấu chốt này các em nhận thấy: BD – BF = 0 và CE – CF = 0, từ đó ta suy ra được phải xét:  AB + AC -BC

Giải chi tiết:

Do AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại D \( \Rightarrow \) AB là tiếp tuyến của đường tròn (O), D là tiếp điểm \( \Rightarrow \) \(OD \bot AB\) tại D

Do AC tiếp xúc với đường tròn (O) tại E \( \Rightarrow \) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), E là tiếp điểm \( \Rightarrow \) \(OE \bot AC\) tại E

Do BC tiếp xúc với đường tròn (O) tại F \( \Rightarrow \) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O), F là tiếp điểm \( \Rightarrow \) \(OF \bot BC\) tại F

Tứ giác ADOE có:  \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\) nên là hình chữ nhật

Mặt khác, ta lại có: AD = AE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

           \( \Rightarrow \) ADOE là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau)

Ta có: BD = BF; CE = CF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét: AB + AC – BC   = (AD + DB ) + (AE +  EC ) – (BF + FC )

                              =  AD + DB  +  AE +  EC  –  BF -  FC

                              = (AD + AE ) +  (BD – BF ) + (EC- FC )

                              =  AD + AD + 0  + 0

                              =  2AD 

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, áp dụng định lý pitago, ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}}  = \sqrt {400}  = 20cm\)

AB + AC – BC = 2AD\( \Rightarrow AD = \frac{{AB + AC -BC}}{2} = \frac{{12 + 16 - 20}}{2} = 4cm\)

Diện tích hình vuông ADOE: \({S_{ADOE}} = A{D^2} = {4^2} =16c{m^2}\)