Cho hai đường thẳng chéo nhau \({{d}_{1}}:\,\,\fra...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(A=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( t+3;-t-1;t+4 \right),\,\,B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2t'+2;-t'+4;4t'-3 \right)\)

+) 

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot {d_1}\\d \bot {d_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{{d_1}}}.\overrightarrow {AB}  = 0\\{\overrightarrow u _{{d_2}}}.\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có \({{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=\left( 1;-1;1 \right);\,\,{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=\left( 2;-1;4 \right)\).

Gọi d là đường vuông góc chung của \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\).

Gọi \(A=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( t+3;-t-1;t+4 \right),\,\,B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2t'+2;-t'+4;4t'-3 \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2t'-t-1;-t'+t+5;4t'-t-7 \right)\)

Ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot {d_1}\\d \bot {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t' - t - 1 + t' - t - 5 + 4t' - t - 7 = 0\\4t' - 2t - 2 + t' - t - 5 + 16t' - 4t - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t' - 3t = 13\\21t' - 7t = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow A\left( 1;1;2 \right),\,\,B\left( 4;3;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( 3;2;-1 \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng d là:  \(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}\).

Chọn C.