Gọi \(a\) là số thực lớn nhất để bất phương trình...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t={{x}^{2}}-x+1\), tìm khoảng giá trị của t.

Xét bất phương trình \(f\left( t \right)\ge 0\) trên khoảng vừa tìm được \(\Leftrightarrow \underset{{}}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)\ge 0\)

Cách giải:

Giải chi tiết:

Đặt \(t={{x}^{2}}-x+1={{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\)

Khi đó BPT trở thành \(f\left( t \right)=t+1+a\ln t\ge 0\,\,\,\left( t\in \left[ \frac{3}{4};+\infty  \right) \right)\)

Ta có: \(f'\left( t \right)=1+\frac{a}{t}=0\Leftrightarrow t=-a.\)

Mặt khác \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;f\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{7}{4}+a\ln \frac{3}{4}\)

Với \(a>0\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ \frac{3}{4};+\infty  \right)\Rightarrow f\left( t \right)\ge 0\ \left( \forall t\in \left[ \frac{3}{4};+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ \frac{3}{4};+\infty  \right)}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\frac{7}{4}+a\ln \frac{3}{4}\ge 0\)

\(\Leftrightarrow a\ln \frac{3}{4}\ge \frac{-7}{4}\Leftrightarrow a\le \frac{\frac{-7}{4}}{\ln \frac{3}{4}}\approx 6,08\). Vì đề bài yêu cầu tìm số thực lớn nhất nên suy ra \(a\in \left( 6;7 \right].\)

Chọn A.