Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra \(d\subset \left( \alpha  \right)\)

+) Gọi \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\Rightarrow B\in \left( \alpha  \right),\) thay tọa độ điểm B vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\Rightarrow \) 1 phương trình 2 ẩn a, b.

+) \(d//\Delta \Rightarrow d\left( \left( d \right);\left( \Delta  \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( B;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{BM};{{{\vec{u}}}_{d}} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|}\) , lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.

+) Giải hệ phương trình tìm a, b \(\Rightarrow \) Tọa độ điểm B \(\Rightarrow \) Độ dài AB.

Giải chi tiết:

Dễ thấy \(d//\left( \alpha  \right)\) và \(\left( -\,1;-\,2;-\,3 \right)\in \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,d\subset \left( \alpha  \right).\)

Ta có \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\) mà \(B\in \Delta \subset \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,2a+b-2=0\Rightarrow b=2-2a\)

Lại có \(d\)//\(\Delta \)\(\Rightarrow \,\,d\left( \left( d \right);\left( \Delta  \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( 0;0;-\,1 \right),\) có \({{\vec{u}}_{d}}=\left( 1;2;2 \right).\)

\(\overrightarrow{BM}=\left( -a;-b;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BM};\overrightarrow{u} \right]=\left( -2b+2;-1+2a;-2a+b \right)\)

Do đó

\(\begin{array}{l}
d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2a} \right)}^2} + {{\left( {2a - b} \right)}^2}} }}{3} = 3\\
\Leftrightarrow {\left( {2b - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow {\left( {2 - 4a} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {4a - 2} \right)^2} = 81\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - 2a} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - 2a = 3\\
1 - 2a = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 1;4;0} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 2
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 2;0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(AB=\frac{7}{2}.\)

Chọn B.