Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(\sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}=a\sqrt{2}+\sqrt{abc}\) . Tương tự với hai căn thức còn lại.

+) Biến đổi và rút gọn.

Giải chi tiết:

Có \(a+b+c+\sqrt{2abc}=2\Rightarrow 2-b-c=a+\sqrt{2abc}\). Do đó

\(\begin{align}  & \sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}=\sqrt{a\left( 4-2b-2c+bc \right)}=\sqrt{a\left( 2a+2\sqrt{2abc}+bc \right)}=\sqrt{2{{a}^{2}}+2a\sqrt{2abc}+abc} \\  & =\sqrt{{{\left( a\sqrt{2}+\sqrt{abc} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}+\sqrt{abc} \\ \end{align}\)

Ta có 2 đẳng thức tương tự. Từ đó suy ra

\(\begin{align}  & \sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}+\sqrt{b\left( 2-c \right)\left( 2-a \right)}+\sqrt{c\left( 2-a \right)\left( 2-b \right)}=\sqrt{2}\left( a+b+c \right)+3\sqrt{abc} \\  & =\sqrt{2}\left( 2-\sqrt{2abc} \right)+3\sqrt{abc} \\  & =2\sqrt{2}-2\sqrt{abc}+3\sqrt{abc} \\  & =\sqrt{8}+\sqrt{abc} \\ \end{align}\)