Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: \({(x + y)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \)

Công thức tổ hợp chập k của n phần tử: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(C_n^1 + C_n^3 = 13n \Leftrightarrow n + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!.3!}} = 13n\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 13n \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 72n\\ \Leftrightarrow n\left[ {\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) - 72} \right] = 0 \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 3n - 70} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 7\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 10\end{array}\)

Khi đó, \({\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^n} = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i{x^{2i}}.{{\left( {{x^{ - 3}}} \right)}^{10 - i}}}  = \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i{x^{ - 30 + 5i}}} \)

Số hạng chứa \({x^5}\)ứng với i thỏa mãn: \( - 30 + 5i = 5 \Leftrightarrow i = 6\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là: \(C_{10}^6 = 210\).

Chọn: D