Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trừ vế theo vế rồi phân tích phương trình thu được thành phương trình tích theo \(\Delta .\)

Giải chi tiết:

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + xy - 4x + 2y = 2\,\,\,\\x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = 4\,\,\,\,\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + xy - 4x + 2y = 2\\{x^2} + x + {y^2} + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + {y^2} + y = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} - {y^2} + xy - 5x + y =  - 2\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + x\left( {y - 5} \right) - \left( {{y^2} - y - 2} \right) = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Coi đây là phương trình bậc 2  ẩn x và  y là tham số ta có:

\(\Delta  = {\left( {y - 5} \right)^2} + 4.2\left( {{y^2} - y - 2} \right) = 9{y^2} - 18y + 9 = 9{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y.\)

Phương trình (**) có hai nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 - y + 3\left( {y - 1} \right)}}{4} = \frac{{2 + 2y}}{4} = \frac{{y + 1}}{2}\\x = \frac{{5 - y - 3\left( {y - 1} \right)}}{4} = \frac{{8 - 4y}}{4} = 2 - y\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,x = \frac{{y + 1}}{2} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{y + 1}}{2}} \right)^2} + \frac{{y + 1}}{2} + {y^2} + y = 4\\ \Leftrightarrow {y^2} + 2y + 1 + 2y + 2 + 4{y^2} + 4y - 16 = 0\\ \Leftrightarrow 5{y^2} + 8y - 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 4 + \sqrt {29}  \Rightarrow x = \frac{{ - 3 + \sqrt {29} }}{2}\\y =  - 4 - \sqrt {29}  \Rightarrow x =  - \frac{{3 + \sqrt {29} }}{2}\end{array} \right.\\ + )\,\,x = 2 - y \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - y} \right)^2} + 2 - y + {y^2} + y = 4\\ \Leftrightarrow 4 - 4y + {y^2} + 2 - y + {y^2} + y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 4y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow y = 1\\ \Rightarrow x = 2 - 1 = 1.\end{array}\)

Vậy các nghiệm của hệ đã cho là: \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {29} }}{2}; - 4 + \sqrt {29} } \right);\,\,\left( { - \frac{{3 + \sqrt {29} }}{2}; - 4 - \sqrt {29} } \right).\)

Chọn D.