Cho \(f(x) + 4xf({x^2}) = 3x.\) Tính tích phân \(I...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy tích phân hai vế, cận từ \(0\) đến \(1\) và đổi biến \(t = 2x\) đối với tích phân \(\int\limits_0^1 {4xf\left( {{x^2}} \right)dx} \).

Giải chi tiết:

Tích phân hai vế ta được :

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 4xf\left( {{x^2}} \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^1 {3xdx}  \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + 2\int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx}  = 3.\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1\\ \Rightarrow I + 2\int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx}  = \dfrac{3}{2}\end{array}\) 

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = I\).

\( \Rightarrow I + 2I = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\).

Chọn D