Đường tròn đi qua 2 đỉnh và tiếp xúc cạnh 1 hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pytago, lưu ý điểm tiếp xúc E sẽ là trung điểm CD.

Giải chi tiết:

Giả sử hình tròn đi qua hai đỉnh A, B và tiếp xúc với cạnh CD của hình vuông ABCD.

Ta có hình vẽ:

Gọi \(E\) là điểm tiếp xúc của \(\left( O \right)\) và \(CD.\)

Kéo dài \(EO\) cắt \(AB\) tại \(F \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AB.\) 

Gọi \(OF = x\,\,\left( {0 < x < 12} \right).\)

Ta có: \(AF = \frac{1}{2}AB = 6\,cm.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \(\Delta AOF\) vuông tại \(F\) ta có:

\(O{F^2} = O{A^2} - A{F^2} \Leftrightarrow {x^2} = {R^2} - {6^2} \Leftrightarrow {x^2} = {R^2} - 36.\,\,\,\,\left( * \right)\)

Lại có: \(EF = 12 = OF + OE \Leftrightarrow x + R = 12 \Leftrightarrow x = 12 - R.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {12 - R} \right)^2} = {R^2} - 36\\ \Leftrightarrow 144 - 24R + {R^2} = {R^2} - 36\\ \Leftrightarrow 24R = 180\\ \Leftrightarrow R = \frac{{15}}{2} = 7,5\,cm.\end{array}\)

Vậy bán kính đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(R = 7,5\,\,cm.\)

Chọn C.