Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O.\) Một...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Từ giả thiết ta viết được phương trình đường tròn và phương trình parabol

+ \({S_1}\) là phần diện tích giới hạn bởi parabol; đường tròn và hai đường thẳng \(x = 2;x =  - 2\). Từ đó sử dụng công thức diện tích hình phẳng bằng ứng dụng tích phân để tính \({S_1}.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

+ Từ đó tính \({S_1};{S_2};{S_3};{S_4}\) và tính tiền trồng bồn hoa.

Giải chi tiết:

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(4\) nên

\(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 4\sqrt 2  \Rightarrow OB = 2\sqrt 2 \) và \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r = 2\sqrt 2 \) là \({x^2} + {y^2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right)\) và có đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

Khi đó \(2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}{x^2}\,\,\left( P \right)\)

Từ đồ thị ta có \({S_1}\) là giới hạn của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \)  và \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x =  - 2;x = 2.\)

Nên ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - \left. {\dfrac{1}{6}{x^3}} \right|_{ - 2}^2 = I - \dfrac{8}{3}\)

Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \) , đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 \cos tdt\)

Đổi biến số \(x =  - 2 \Rightarrow t =  - \dfrac{\pi }{4}\) ; \(x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\)

Từ đó \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt = } \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt = } 4\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt = \left. {4t + 2\sin 2t} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = 2\pi  + 4} \)

Nên \({S_1} = I - \dfrac{8}{3} = 2\pi  + 4 - \dfrac{8}{3} = 2\pi  + \dfrac{4}{3}\)

Lại thấy \({S_1} = {S_2};{S_3} = {S_4}\) (vì hai parapol đối xứng nhau qua đình \(O\)), diện tích cả bồn hoa là

\(S = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi .\)

Từ đó diện tích trồng hoa là \({S_1} + {S_2} = 2{S_1} = 4\pi  + \dfrac{8}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích trồng cỏ là \({S_3} + {S_4} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 4\pi  - \dfrac{8}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\)

Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là \(\left( {4\pi  + \dfrac{8}{3}} \right).150000 + \left( {4\pi  - \dfrac{8}{3}} \right).100000 \approx 32749256\) đồng.

Chọn B.