Cho hình chóp đều \(S.\,ABC\) có đáy là tam giác đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi H là tâm tam giác đều ABC ta có \(SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\) và \(I=SK\cap EF.\)

Từ gt \(\Rightarrow \,\,EF=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},\)\(EF\)//\(BC\)\(\Rightarrow \,\,I\) là trung điểm của \(SK\) và \(EF.\)

Ta có \(\Delta \,SAB=\Delta \,SAC\)\(\Rightarrow \) Hai trung tuyến tương ứng \(AE=AF.\)

\(\Rightarrow \) Tam giác \(AEF\) cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,AI\bot EF\)

Mặt khác \(\left( SBC \right)\bot \left( AEF \right)\Rightarrow AI\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AI\bot SK.\)

Suy ra \(\Delta \,SAK\) cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,SA=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Gọi H là tâm tam giác đều ABC ta có \(SH\bot \left( ABC \right)\) và \(AH=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{6}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{24}.\)

Chọn A.