Hình thang ABCD có đáy AB = 2CD, trong đó A, B thu...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Vẽ \(DH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\) ta có \(DH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Phương trình CD: \(y =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .

TH1: Phương trình CD: \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .

Khi đó tọa độ điểm C, D là  nghiệm của phương trình .

\(\begin{array}{l}\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + n2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {m,n \in Z} \right)\\\Rightarrow CD = \left| {{x_C} - {x_D}} \right| = \left| {\frac{\pi }{6} + m2\pi + \frac{\pi }{6} - n2\pi } \right| = \left| {\frac{\pi }{3} + \left( {m - n} \right)2\pi } \right|\\\Rightarrow \frac{\pi }{3} + \left( {m - n} \right)2\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} + 2\left( {m - n} \right) < \frac{1}{2} \Leftrightarrow m - n < \frac{1}{{12}}
\end{array}\)

Chọn \(m - n = 0 \Leftrightarrow CD = \frac{\pi }{3} \Rightarrow AB = \frac{{2\pi }}{3}\).

TH2 : Phương trình CD \(y = -\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) :  Tọa độ của C, D là nghiệm của phương trình

\(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{5\pi }}{6} + m'2\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + n'2\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {m',n' \in Z} \right)\).

 \(\begin{array}{l}\Rightarrow CD = \left| {{x_C} - {x_D}} \right| = \left| {\frac{{3\pi }}{2} + \left( {m' - n'} \right)2\pi } \right|\\Khi\,\,m' - n' = 0 \Rightarrow CD = \frac{{3\pi }}{2} > \frac{\pi }{2}\,\,\left( {ktm} \right)\\Khi\,\,m' - n' = - 1 \Rightarrow CD = \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

 Vậy \(AB = \frac{{2\pi }}{3}\).

Chọn A.