Cho phương trình \({x^2} + 2mx - 2m - 6 = 0\) (1)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Thay \(m = 1\) tìm nghiệm theo công thức nghiệm hoặc  phân tích thành nhân tử.

b)      \(x_1^2 + x_2^2\) biểu diễn theo tích và tổng của   x₁ , x_{2 .} Áp dụng Viet thay vào biểu thức  \(x_1^2 + x_2^2\)tính theo m.

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình :

Thay \(m = 1\) vào (1) ta được \({x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x--2} \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - {\rm{ }}4;2} \right\}\).

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x =  - 4\) hoặc \(x = 2\).

b) Xét PT(1): \({x^2} + 2mx - 2m - 6 = 0\) (1) , với ẩn x , tham số m .

+ Xét PT (1) có \({\Delta _{\left( 1 \right)}}' = {m^2} + 2m + 6 = {(m + 1)^2} + 5 > 0\) (luôn đúng ) với mọi m, do đó PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ ; x₂ với mọi m.

+ Mặt khác áp dụng hệ thức Vi-ét vào PT(1) ta có :\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}{x_2} =  - (2m + 6)\end{array} \right.(I)\)

+ Lại theo đề và (I) có:

\(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}--2{x_1}{x_2} = {\left( { - 2m} \right)^2} + 2\left( {2m + 6} \right) = 4{m^2} + 4m + 12 = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 11 \ge 11\)với mọi m.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi \(m =  - \frac{1}{2}\)

Vậy \(m =  - \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.