Biết \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{{x + 1}}{{\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phân tích biểu thức \(\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{x - 2}}\,\,\left( {A,B \in R} \right)\).

+) Sử dụng nguyên hàm mở rộng \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

Giải chi tiết:

Ta có \(\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x - 2}}\).

Do đó

\(\begin{array}{l}\int\limits_{}^{} {\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}dx}  = \int\limits_{}^{} {\left( {\dfrac{{ - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)dx}  =  - 2\ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\ln \left| {x - 1} \right| + b\ln \left| {x - 2} \right| + C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1\end{array}\)

Chọn A.