Cho \(\left( O \right)\)đường kính \(AB\). Lấy

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Chứng minh OE là trung trực của BC, từ đó suy ra\(OE \bot BC\)

b) Sử dụng hai tam giác bằng nhau để chứng minh \(\angle DOB = {90^0}\), từ đó suy ra DB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thức.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh: \(\Delta ACB\) vuông và \(OE \bot BC\).

+) Xét đường tròn \(\left( O \right)\)có AB  là đường kính và \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\;\;hay\;\;\Delta ABC\) vuông tại C.

+) Có: \(OC = OB\) (do cùng bằng bán kính), suy ra O cách đều hai điểm C và B,

\( \Rightarrow O\) nằm trên trung trực của BC.

Có \(EC = EB\) (do E là trung điểm của BC), suy ra E cách đều hai điểm B và C

\( \Rightarrow E\) nằm trên trung trực của BC.

Ta có E và O  đều nằm trên đường trung trực của đoạn BC

\( \Rightarrow OE\) là trung trực của đoạn BC.

\( \Rightarrow \) \(OE \bot BC\) (đpcm)

b) Chứng minh: DB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Vì tiếp tuyến tại C của \(\left( O \right)\) cắt OE  ở D nên ta có D nằm trên EO, suy ra D nằm trên đường trung trực của BC\( \Rightarrow DB = DC\)  (tính chất đường trung trực)

Xét \(\Delta COD\) và \(\Delta BOD\) có:

\(OC = OB\) (do cùng là bán kính của đường tròn)

OD chung

\(DB = DC\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta COD = \Delta BOD\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \angle OCD = \angle OBD = {90^0} \Rightarrow BD \bot OB\)

Suy ra DB  là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)(đpcm).

c) Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh: \(CB.OC = OD.HC\).

Vì DB  là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)(cmt) \( \Rightarrow \angle OBD = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle CBO + \angle CBD = {90^0}\)                           (1)

Vì OD  là trung trực của BC (cmt) \( \Rightarrow OD \bot BC \Rightarrow \angle DEB = {90^0} \Rightarrow \angle ODB + \angle CBD = {90^0}\)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle CBO = \angle ODB\) (cùng phụ với \(\angle DBC\))

Xét \(\Delta ODB\) và \(\Delta CBH\) có:

 \(\angle CHB = \angle OBD = {90^0}\)

 \(\angle CBO = \angle ODB\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ODB \sim \Delta CBH\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OB}}{{CH}} = \frac{{OD}}{{BC}} \Rightarrow OB.BC = OD.CH\)

Mà có \(OB = OC\) (do cùng là bán kính của đường tròn)

Suy ra \(CB.OC = OD.HC\) (đpcm)